Determinantes.
1. Definición de determinante:
El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.
1 |At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2 |A| = 0 Si:
Posee dos filas (o columnas) iguales.
Posee dos filas (o columnas) iguales.
Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
Los elementos de una fila (o una columna)
son combinación lineal de las otras.
son combinación lineal de las otras.
F3 = F1 + F2
3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
4 Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.
5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.
6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.
8 |A · B| =|A| · |B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
3. Menores y Cofactores:
4. Matriz inversa por método de cofactores.
5. Método de Cramer:
En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.
Se llama MENOR del elemento aik de un determinante D de 
al determinante Mik de orden 
que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.
al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.
Ejemplo 1.
Obtener los menores M13 y M21 del determinante D de 
.
.
Para M13 eliminamos el renglón 1 y la columna 3 para obtener:
De la misma forma se elimina el renglon 2 y la columna 1 para tener:
Se llama COFACTOR del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es:
Ejemplo 2.
Obtenga los cofactores A13 y A21 del determinante D dado:
De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A13 está dado por
Y de la misma forma
4. Matriz inversa por método de cofactores.
El método de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Y sean:
Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:
Ejemplo:
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