Unidad I: Álgebra Matricial.

Álgebra matricial. 

1. Definición de matriz:  

Una matriz es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí. Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular. 

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. 

2. Orden de una matriz: 

A) Elemento de una matriz: 

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. 

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. 

B) Dimensión de una matriz: 

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas. 

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),... 

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ... 

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij). 

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij. 

 

3.  Notación de una matriz: 

Para hacer referencia a una matriz se utilizará una letra mayúscula. Para indicar un elemento de la matriz de posición la fila i y la columna j utilizaremos una letra minúscula con dos sub-índices, el primero se corresponderá con la fila y el segundo con la columna que ocupa el elemento.  

Ejemplo:  a11 = 1 a21 = -3 a32 = 2 Cuando deseamos hacer referencia a un elemento genérico de la matriz utilizaremos el elemento aij elemento de la fila i y de columna j.  

4. Tipos de matrices: 

• Matriz fila 

Una matriz fila está constituida por una sola fila. 

 

• Matriz columna 

La matriz columna tiene una sola columna 

 

• Matriz rectangular 

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. 

 

• Matriz cuadrada 

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. 

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. 

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz. 

 

• Matriz triangular superior 

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. 

 

• Matriz diagonal 

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos. 

 

• Matriz escalar 

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. 

 

5.  Operaciones básicas de matrices: 

A) SUMA O RESTA: 

La suma y resta de matrices destacan por ser las operaciones matriciales más sencillas. Estas operaciones se pueden realizar con matrices cuadradas y no cuadradas. 

Lo más importante para recordar en estas operaciones es que las matrices que se suman o restan deben tener las mismas dimensiones, es decir, si se suma la matriz A con la matriz B, la cantidad de renglones de A debe ser igual a la cantidad de renglones de B, y la cantidad de columnas de A debe ser igual a la cantidad de columnas de B. 

Por ejemplo, una matriz de  SI se puede sumar con otra , pero NO con una . Sin embargo, una matriz  si se podrá sumar con otra matriz . 

Para realizar la suma de matrices se suma el elemento (1,1) de la primera matriz con el elemento (1,1) de la segunda matriz, y se coloca en el lugar (1,1) de la matriz resultado. El elemento (1,2) de la primera matriz se suma al elemento (1,2) de la segunda y se coloca en el lugar (1,2) de la nueva matriz, y así sucesivamente. 

Ejemplo. 

  

 +  =  =  

Para la resta de matrices se aplican las mismas reglas que para la suma: las matrices deben tener las mismas dimensiones, y al elemento (1,1) de la primer matriz se le resta el elemento (1,1) de la segunda, y así sucesivamente. 

Ejemplo. 

  

 -  =   =  

B) MULTIPLICACIÓN: 

Usted solo puede multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles, lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. Si A es una matriz a × by B es una matriz b × c, el producto AB es una matriz a × c. 

La definición de la multiplicación de matrices indica una multiplicación renglón-por-columna, donde las entradas en el renglón ith de A son multiplicadas por las entradas correspondientes en el renglón jth de B y luego se suman los resultados. 

La multiplicación de matrices NO es conmutativa. Si ni A ni B son una matriz identidad, AB ≠ BA. 

Multiplicando un renglón por una columna 

Comencemos por mostrarle como se multiplica una matriz 1 × n por una matriz n × 1. La primera solo tiene un renglón, y la segunda es de una columna. Por la regla anterior, el producto es una matriz 1 × 1; en otras palabras, un número solo. 

Primero, vamos a nombrar las entradas en el renglón como r1, r2, ..., rn, y las entradas en la columna como c1,c2, ..., cn. Luego el producto del renglón y de la columna es la matriz 1 × 1 

[r1c1 + r2c2 + ... + rncn]. 

Ejemplo: 

Encuentre el producto. 

 

Tenemos que multiplicar una matriz 1 × 3 por una matriz 3 × 1. El número de columnas en la primera es igual al número de renglones en la segunda, así son compatibles. 

El producto es: 

[(1)(2) + (4)(–1) + (0)(5)] 

= [2 + (–4) + 0] 

= [–2] 

6.  Método de Gauss: 

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado. 

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta). 

  

Ejemplo 

 1  

3x+ 2y+ z=1 

5x+ 3y+ 4z=2 

x+ y− z=1 

  

 

 

 

 

 

EJERCICIO DE MATRICES APLICADO A LA ADMINISTRACIÓN.