Unidad IV: Funciones Multivariadas.

Funciones Multivariadas.

1. Definición:

En muchas funciones matemáticas, el valor de una variable dependiente depende de más de una variable independiente. Se da el nombre de funciones multivariadas a las que contienen más de una variable independiente. 

Una clase de funciones multivariadas es la de las funciones bivariadas. Éstas tienen dos variables independientes. La notación  z = f(x, y) 

  

Indica que la variable dependiente z depende de los valores de las dos variables independientes x y y.

He aquí un ejemplo de una función bivariada:

La notación para evaluar las funciones multivariadas es análoga a la delas funciones de una variable independiente. Por ejemplo si queremos evaluar f(x, y) cuando x=0 y y=0, esto se denota mediante f (0,0). En la función precedente

2. Derivada parcial:

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}}$

O visto respecto a la derivada direccional:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f({\vec {x}}_{0})=D_{\vec {v}}f\left({\vec {x}}_{0}\right)={\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {f\left({\overrightarrow {x_{0}}}+t{\vec {v}}\right)-f\left({\vec {x}}_{0}\right)}{t}}}$

donde ${\displaystyle {\vec {v}}}$ es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (${\displaystyle {x_{i}}}$).

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C¹.

EJEMPLO:

3. Interpretación:

La función de demanda Qd=f(P) con P como el precio del producto dQ/dP es la variación de la demanda por cambios en el precio y la elasticidad precio de la demanda se define como E=dQ/dP*P/Q. También se aplican las derivadas para calcular la Utilidad Marginal; Producto marginal; Beneficio marginal y todo caso que diga marginal utilizan el concepto de derivada monovariable.

También se emplean derivadas de funciones multivariadas, generalmente parciales con respecto a alguna de las variables. Si tienes una función de mercado multivariada puedes aplicar las derivadas para analizarla.

Si se tiene una función y se quiere encontrar su máximo o mínimo se hace la primera derivada = 0 y para determinar si es un máximo un mínimo se hace la evaluación de la segunda derivada.

Aplicaciones a la Economía y a la Administración:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.

El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:

D = (p(t)),p´(t)

Llamamos la función de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:

S = g(p(t), p´(t)

Llamamos g a la función oferta.

Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:

(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))

Las formas que debería tener y g son las siguientes:

D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3

S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:

A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3

(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3

Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:

p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:

p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e


   Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.

  Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.

    Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.

4. Derivadas parciales de orden superior:

A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a funa función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.

En R², si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=f_{yx}}$

Ejemplo:

solución:

 EJERCICIO DE DERIVADAS PARCIALES 

APLICADO A LA ADMINISTRACIÓN

Unidad III: Integración.

Integración.

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x)son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

1. Integral indefinida:

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es 
la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede 
tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx


REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN





2. Integral definida:

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida 
es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), 
el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida 
se representa por 
          .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la 
variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia 
de signo si se permutan los límites 
de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, 
la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida
se descompone como una suma de dos 
integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de 
funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual 
a la constante por la integral de la función.

Ejemplo:

EJERCICIO DE INTEGRACIÓN APLICADO 

A LA ADMINISTRACIÓN

Unidad II: Determinantes.

Determinantes.

1. Definición de determinante:

El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

2. Propiedades de los determinantes:

 1  |A^t|= |A|

    El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

 2  |A| = 0    Si:

    Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) 
son combinación lineal de las otras.

      F₃ = F₁ + F₂

 3  Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

 4  Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

 5  Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

 

 6  Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

 7  Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

 8  |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

3. Menores y Cofactores:

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

Se llama MENOR del elemento  a_ik de un determinante  D de   al determinante  M_ik de orden   que se obtiene al eliminar el renglón  i   y la columna  k de  D.

Ejemplo 1.

Obtener los menores  M₁₃   y   M₂₁  del determinante  D  de  .

      

 Para  M₁₃  eliminamos el renglón  1  y la columna  3  para obtener:

De la misma forma se elimina el renglon 2 y la columna 1 para tener:

Se  llama  COFACTOR del elemento  a_ik  del determinante   D,  al menor   M_ik  con el  signo     (-1)^i+k   y se denota   A_ik,  esto es:

                                                                                    

                                                 

  Ejemplo 2.                              

Obtenga los cofactores   A₁₃  y  A₂₁   del determinante  D  dado:

De acuerdo con la fórmula  (1) el cofactor   A₁₃ está dado por

Y de la misma forma

4. Matriz inversa por método de cofactores.

 

5. Método de Cramer:

El método de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ ₁, Δ ₂ , Δ ₃ ... , Δ _n

Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Ejemplo: